Forschung

ALGORITHMISCHE ARITHMETISCHE GEOMETRIE

Die Arbeitsgruppe „Algorithmische Arithmetische Geometrie“ beschäftigt sich mit zahlentheoretischen („arithmetischen“) Eigenschaften von Objekten der Algebraischen Geometrie wie algebraischen Kurven oder Flächen, die über den rationalen Zahlen (oder allgemeineren algebraischen Zahlkörpern) definiert sind. Eine wichtige Frage ist etwa die nach einer Beschreibung der Menge der rationalen Punkte auf einer algebraischen Varietät. Anders ausgedrückt, geht es um die Lösungen in rationalen Zahlen eines Systems algebraischer Gleichungen. Handelt es sich zum Beispiel um eine Gleichung in zwei Variablen, sucht man nach den rationalen Punkten auf einer Kurve. In diesem Fall gibt es theoretische Resultate, aus denen folgt, dass die Menge der rationalen Punkte auf einer Kurve stets eine endliche Beschreibung hat. Wir interessieren uns für die damit zusammenhängenden algorithmischen Aspekte: Wie kann man diese endliche Beschreibung für gegebene Kurven tatsächlich finden? Ist das immer möglich? Und wie sieht es aus, wenn man statt Kurven höherdimensionale Varietäten betrachtet?

Während der Vorlesungszeit findet wöchentlich das Oberseminar „Arithmetische Geometrie” statt.

CODIERUNGSTHEORIE

Die Arbeitsgruppe „Codierungstheorie“ untersucht mit Methoden aus der Kombinatorik, Algebra, endlicher Geometrie und der kombinatorischen Optimierung lineare Codes. Dies sind entweder Untervektorräume oder Untermoduln eines endlichen Umgebungsraums. Eine wichtige Frage ergibt sich dabei aus der Anwendung: Wie gut kann ein solcher Code bei fest vorgebener Größe des Codes und des Umgebungsraums sein, d.h. wie hoch ist die Minimaldistanz, d.h. wie viele Fehler können korrigiert werden. In vielen Fällen gelang es aktuell beste Codes zu konstruieren. Ein weiterer Aspekt ist dann auch zu zeigen, dass man optimale Codes gefunden hat. Hierzu muss man zeigen, dass es unmöglich ist eine höhere Minimaldistanz zu erreichen.
Ein neuer Aspekt ist die Codierungstheorie in Netzwerken (wie z.B. dem Internet). Hier gibt es völlig neue Fragestellungen, da die mittels Codierungstheorie zu sichernde Nachricht nicht über einen Punkt zu Punkt Kanal übertragen wird, sondern wir eventuell mehrere Sender und mehrere Empfänger haben (z.B. TV-streaming, distributed storage).